用 latex 来表示数学公式
Markdown中，可以使用 LaTeX 来写数学公式。只需在公式前后加上美元符号 ... 来表示行内公式，或使用 ... 来表示独立行的公式。
参见 https://jupyterbook.org/en/stable/content/math.html
以下是一些中学数学常用的公式示例：
1. 二次方程求根公式
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
用于求解二次方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$
2. 勾股定理
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
其中 ( a ) 和 ( b ) 是直角三角形的两条直角边，( c ) 是斜边。
3. 乘法公式（完全平方公式）
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
$$
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
4. 平方差公式
$$
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
$$
5. 一元一次方程
$$
ax + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{a}
$$
6. 等差数列的通项公式
$$
a_n = a_1 + (n - 1) d
$$
其中 ( a_1 ) 是首项，( d ) 是公差，( n ) 是项数。
7. 等比数列的通项公式
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中 $$ a_1 $$ 是首项，$$ r $$ 是公比，$$ n $$ 是项数。
8. 圆的面积公式
$$
A = \pi r^2
$$
其中 ( r ) 是圆的半径。
9. 圆的周长公式
$$
C = 2 \pi r
$$
其中 ( r ) 是圆的半径。
10. 直角三角形的正弦、余弦、正切
$$
\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
\quad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
\quad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}
$$
以下是更多的常用数学公式，涵盖代数、几何、三角、微积分等领域：
11. 二项式定理
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中 $$ \binom{n}{k} $$ 是二项式系数，表示 $$ n $$ 个元素中取 $$ k $$ 个的组合数。
12. 指数函数的性质
$$
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\quad (a^m)^n = a^{m \cdot n}
$$
13. 对数函数的性质
$$
\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y
\quad \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y
\quad \log_a x^b = b \log_a x
$$
14. 三角函数恒等式
-
和角公式
$$
\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
$$
$$
\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
$$ -
倍角公式
$$
\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta
\quad \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
$$ -
三角函数的平方关系
$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
$$
15. 对称性定理（余弦定理）
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$
适用于任意三角形，( a ), ( b ), ( c ) 是三角形的三条边，( C ) 是 ( a ) 和 ( b ) 所夹的角。
16. 正弦定理
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
适用于任意三角形，( A ), ( B ), ( C ) 分别是 ( a ), ( b ), ( c ) 所对的角。
17. 排列数公式
$$
P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}
$$
其中 ( P(n, k) ) 表示从 ( n ) 个元素中取出 ( k ) 个并排列的方式数。
18. 组合数公式
$$
C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
其中 ( C(n, k) ) 表示从 ( n ) 个元素中取出 ( k ) 个并不考虑顺序的组合方式数。
19. 导数的定义
$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
导数表示函数的变化率。
20. 积分的定义
$$
\inta^b f(x)\, dx = \lim{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x
$$
积分表示函数在区间 ([a, b]) 上的面积。
21. 常见函数的导数
- ( \frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1} )
- ( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x )
- ( \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x )
- ( \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} )
- ( \frac{d}{dx} (e^x) = e^x )
22. 常见函数的积分
- ( \int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C )
- ( \int \sin x\, dx = -\cos x + C )
- ( \int \cos x\, dx = \sin x + C )
- ( \int \frac{1}{x}\, dx = \ln |x| + C )
- ( \int e^x\, dx = e^x + C )
23. 面积公式
-
矩形:
$$
A = l \times w
$$
其中 ( l ) 是长度，( w ) 是宽度。 -
三角形:
$$
A = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}
$$ -
梯形:
$$
A = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高}
$$
24. 体积公式
-
长方体:
$$
V = l \times w \times h
$$ -
圆柱体:
$$
V = \pi r^2 h
$$ -
球体:
$$
V = \frac{4}{3} \pi r^3
$$
25. 欧拉公式
$$
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
$$
是复数与三角函数的著名关系式。